Chapter 12 Fungsi Matematika dan Statistika
12.1 Fungsi Matematika
12.1.1 Nilai Mutlak
Nilai Mutlak atau Absolute Value adalah nilai suatu bilangan riil tanpa tanda plus atau minus. Nilai Mutlak sendiri dilambangkan dengan tanda ‘| A |’. Semua nilai yang ada di nilai mutlak akan bernilai positif walaupun itu bilangan negatif, bilangan tersebut akan bernilai positif jika diubah kebentuk nilai mutlak, | -x |→| x |. Definisi berikut akan menjelaskan bahwa nilai mutlak atau nilai absolut akan selalu bernilai positif atau nol, tetapi tidak akan pernah bernilai negatif.
\[\left | x \right | = \left\{\begin{matrix} x, jika \;x \geq 0\\ -a, jika \;x < 0\end{matrix}\right.\]
Dalam bahasa r untuk mencari nilai mutlak kita bisa menggunakan fungsi abs(). Berikut adalah format penulisan dari fungsi tersebut.
Berikut adalah contoh penggunaan daripada fungsi abs():
> abs(-25)[1] 2512.1.2 Logaritma Natural
Logaritma Natural adalah logaritma yang memiliki basis atau berbasis pada bilangan e atau euler, dimana euler sendiri merupakan bilangan irasional yang bernilai 2,718281828…(dan seterusnya). Logaritma natural sendiri dinotasikan denga ln.
Disebut Logaritma Natural karena:
Persamaan - persamaan yang variabelnya tidak diketahui merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat 10 (Dikarenakan sifat - sifat persamaan eksponensial).
Logaritma Natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral dasar
\[ln(a) = \int_{1}^{a}\frac{1}{x}dx\]
atau bisa juga didefinisikan dengan menggunakan deret taylor
\[f(a) + \frac{f^{'}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{''}(a)}{2!}(x - a) + ...\]
atau
\[\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!}(x - a)^n\]
Untuk melakukan operasi Logaritma Natural, dalam bahas r digunakan fungsi log(). Berikut adalah format penulisannya.
Berikut adalah contoh penggunaan daripada fungsi log().
Contoh 1:
> log(25)[1] 3.218876Contoh 2:
> log(exp(5))[1] 5- Keterangan:
-
exp() merupakan fungsi yang menampilkan nilai berupa bilangan e atau euler (2,718281828…dan seterusnya).
12.1.3 Eksponensial
Eksponensial merupakan fungsi di matematika yang ditulis dengan notasi exp(x)atau e^x, dimana e merupakan basis dari Logaritma Natural, yaitu 2,718281828…(dan seterusnya). Dalam bahas r digunakan fungsi exp() untuk menampilkan nilai eksponen, format penulisannya adalah sebagai berikut.
Berikut adalah contoh penggunaan daripada fungsi log().
> exp(25)[1] 7200489933712.1.4 Faktorial
Faktorial merupakan hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dituliskan sebagai n! dan disebut n faktorial. Berikut adalah bentuk umum daripada faktorial.
\(n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 3) \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)
Contoh:
\(6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)
Dalam bahasa r untuk mencari nilai faktorial digunakan fungsi factorial(). Berikut adalah format penulisannya.
Berikut adalah contoh penerapan daripada sintaks diatas.
> factorial(6)[1] 72012.1.5 Akar Kuadrat
Dengan r kita bisa mencari akar kuadrat dari sebuah nilai dengan fungsi sqrt(). berikut adalah format penulisannya.
Berikut adalah contoh penerapan daripada sintaks diatas.
> sqrt(100)[1] 1012.1.6 Pi
Dalam Matematika Pi merupakan sebuah konstanta yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan dimeternya dan memiliki nilai 3,134159265358979323846 …∞. Pi sendiri dilambangkan dengan tanda ‘π’. Dalam bahasa r, pi merupakan variabel khusus yang berisi nilai pi. Berikut adalah output yang akan ditampilkan jika memanggil pi (sebagai variabel)
> pi[1] 3.14159312.1.7 Trigonometry
12.1.7.1 sin()
Fungsi sin() digunakan untuk menentukan nilai sin. format penulisannya adalah sebagai berikut.
Berikut adalah contoh penggunaannya.
> sin(90)[1] 0.893996712.2 Fungsi Statistika
12.2.1 Mean
Mean merupakan nilai rata – rata dari sebuah data. Mean dirumuskan sebagai berikut.
\(\bar{X} = \frac{x_{1}+x_{2}...+x_{n}}{n}\)
atau
\(\bar{X} = \frac{\sum_{i = 0}^{a}X_{i}}{n}\)
Untuk mencari nilai mean kita bisa menggunakan fungsi mean(). Berikut adalah format penulisannya.
Berikut adalah contoh penggunaan daripada sintaks diatas.
> mean(c(11,77,45,67,24,68,98))[1] 55.7142912.2.2 Median
Median merupakan nilai tengah dari sebuah data. Median dirumuskan sebagai berikut.
Jumlah Data Ganjil:
\(Me = x_{\frac{1}{2}(n + 1)}\)
Jumlah Data Genap :
\(Me = \frac{x\tfrac{n}{2} + x(\tfrac{n}{2}+ 1)}{2}\)
Untuk mencari nilai median kita bisa menggunakan fungsi median(). Berikut adalah format penulisannya .
Berikut adalah contoh penggunaan daripada sintaks diatas.
> median(c(11,77,45,67,24,68,98))[1] 6712.2.3 Standard Deviasi
Standard Deviasi adalah ukuran sebaran statistik yang mengukur nilai – nilai data terbesar. Fungsi sd() merupakan fungsi yang digunakan untuk menentukan standard deviasi dari sebuah data. Berikut adalah format penulisannya dalam bahasa r.
Berikut adalah contoh penggunannya:
> sd(c(11,77,45,67,24,68,98))[1] 30.6578712.3 summary()
summary() merupakan fungsi yang akan menampilkan rangkuman data. Rangkuman tersebut berisi informasi seperti nilai mean, median, kuartil, nilai maksimum, nilai minimum, dan sebagainya. Berikut adalah format penulisannya.
Berikut ini adalah contoh penggunaannya terhadap dataset BOD guna mendapatkan rangkuman data dari dataset tersebut.
> summary(BOD) Time demand
Min. :1.000 Min. : 8.30
1st Qu.:2.250 1st Qu.:11.62
Median :3.500 Median :15.80
Mean :3.667 Mean :14.83
3rd Qu.:4.750 3rd Qu.:18.25
Max. :7.000 Max. :19.80